Question

已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4

3

，半径小于5．
（1）求直线PQ与圆C的方程；
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键，根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；
（2）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．

解答：解：（1）直线PQ的方程为y-3=

3+2

-1-4

×（x+1）
即直线PQ的方程为x+y-2=0，
C在PQ的中垂线y-

3-2

2

=1×（x-

4-1

2

）
即y=x-1上，
设C（n，n-1），则r²=|CQ|²=（n+1）²+（n-4）²，
由题意，有r²=（2

3

）²+|n|²，
∴n²+12=2n²-6n+17，
∴n=1或5（舍去），r²=13或37（舍去），
∴圆C的方程为（x-1）²+y²=13．
（2）设直线l的方程为x+y+m=0，
由

x+y+m=0 (x-1)2+y2=13

，
得2x²+（2m-2）x+m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=1-m，x₁x₂=

m2-12

2

，
∵∠AOB=90°，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，整理得m²+m-12=0，
∴m=3或-4（均满足△＞0），
∴l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0．

点评：本题考查直线与圆的综合问题，考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法，注意待定系数法的运用，考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法，考查设而不求思想的运用，考查方程思想和转化与化归的思想．