Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₅=-3，S₁₀=-40
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{abn}为等比数列，且b₁=5，b₂=8，令cn=

37•an

(2bn-7)2

，若对任意的n∈N^*，有c_n≥c_k成立，求正整数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）等差数列{a_n}中，由a₅=-3，S₁₀=-40，解得a₁=5，d=-2．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由{abn}为等比数列，b₁=5，b₂=8，知ab1=7-2b1=7-10=-3，ab2=7-2b₂=7-16=-9，故abn=7-2b_n=-3ⁿ，所以b_n=

1

2

•3n+

7

2

.cn=

37•an

(2bn-7)2

=

37•(7-2n)

9n

=（7-2n）•3^7-2n．由此能求出对任意的n∈N^*，有c_n≥c_k成立，正整数k的值．

解答：解：（Ⅰ）等差数列{a_n}中，
∵a₅=-3，S₁₀=-40，
∴

a1+4d=-3 10a1+ 10×9 2 d=-40

，
解得a₁=5，d=-2．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=5+（n-1）×（-2）=7-2n．
（Ⅱ）∵{abn}为等比数列，b₁=5，b₂=8，
∴ab1=7-2b1=7-10=-3，
ab2=7-2b₂=7-16=-9，
∴abn=7-2b_n=（-3）×3^n-1=-3ⁿ，
b_n=

1

2

•3n+

7

2

．
∴cn=

37•an

(2bn-7)2

=

37•(7-2n)

9n

=（7-2n）•3^7-2n．
∴当n=4时，（C_n）_min=C₄=（7-8）•3^7-8=-

1

3

．
∵对任意的n∈N^*，有c_n≥c_k成立，
∴正整数k的值为4．

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．