题目内容

函数 $数学公式$
（1）当a=-4时，求函数f（x）的最大值；
（2）设 $数学公式$ ，且f（x）≤-ag（x）在 $数学公式$ 上恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）∵a=-4
∴ $\text{[math]}$
=cos2x-4（1-cos（x- $\text{[math]}$ ））
=1-2sin²x+4sinx-4
=-2（sinx-1）²-1，
∵x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$ ≤sinx≤1，当sinx=1时，f（x）取得最大值-1，
∴函数f（x）的最大值为-1；
（2）∵ $\text{[math]}$ ，且f（x）≤-ag（x）在 $\text{[math]}$ 上恒成立，
∴-a（sinx- $\text{[math]}$ a）≥f（x）=cos2x+a[1-sinx]在 $\text{[math]}$ 上恒成立，
即 $\text{[math]}$ a²-a≥cos2x，x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]恒成立，
而x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]时，（cos2x）_max=cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴即 $\text{[math]}$ a²-a≥ $\text{[math]}$ ，
∴a≥1或a≤- $\text{[math]}$ ．
实数a的取值范围为（-∞，- $\text{[math]}$ ]∪[1，+∞）．
分析：（1）当a=-4时，利用三角函数公式可将f（x）化为：f（x）=-2（sinx-1）²-1，x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，从而可求函数f（x）的最大值；
（2）由 $\text{[math]}$ ，且f（x）≤-ag（x）可得 $\text{[math]}$ a²-a≥cos2x，x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]恒成立，从而可求得实数a的取值范围．
点评：本题考查三角函数的化简求值，难点在于（2）含参数的条件的转化与应用，突出考查三角函数公式的综合运用与恒成立问题，属于难题．