题目内容

在等比数列{a_n}中，公比q＞1，且满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂ $数学公式$ ，且数列{b_n}的前n的和为S_n，求数列{ $数学公式$ }的前n项的和T_n．

解：（1）∵a₂+a₃+a₄=28，∴a₁q+a₁q²+a₁q³=28①；又a₃+2是a₂、a₄的等差中项得到2（a₁q²+2）=a₁q+a₁q³②．
由①得：a₁q（1+q+q²）=28③，由②得：a₁q²=8，a₁q+a₁q³=20即a₁q（1+q²）=20④
③÷④得 $\text{[math]}$
∴2q²-5q+2=0
∴q=2或q= $\text{[math]}$
∵q＞1，∴q=2
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₃q^n-3=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=log₂ $\text{[math]}$ =n+5，∴b₁=6
∴数列{b_n}是以6为首项，1为公差的等差数列，
∴S_n= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以6为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，
∴T_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂与a₄的等差中项，建立方程，求出数列的公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{b_n}的通项及前n的和，求得数列{ $\text{[math]}$ }的通项，即可求和．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．