题目内容
5．已知极坐标系的极轴与直角坐标系x轴的非负半轴重合，曲线C的极坐标方程是C：$\frac{4}{{ρ}^{2}}$=cos2θ+4sin2θ，直线l的参数方程是l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}-2016t}\\{y=\sqrt{5}+2016t}\end{array}\right.$（1）求曲线C的普通方程和参数方程；
（2）求直线l的普通方程和极坐标方程．
（3）点M∈C，点N∈l，直线MN与直线l的夹角等于45°，求|MN|的最值．
分析 （1）曲线C中极坐标方程，直接利用极坐标和直角坐标互化公式进行处理即可；
（2）首先，根据直线的参数方程，然后，消去参数，即可得到普通方程，然后，写成极坐标形式即可；
（3）可以设出曲线C上的一点，然后，计算该点到直线的距离，然后，借助于夹角紧急求解．
解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程是C：$\frac{4}{{ρ}^{2}}$=cos2θ+4sin2θ，
∴ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，
∴x2+4y2=4，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴曲线C的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
它表示一个焦点在x轴上的椭圆，
其参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
（2）∵直线l的参数方程是l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}-2016t}\\{y=\sqrt{5}+2016t}\end{array}\right.$
∴x+y-2$\sqrt{5}$=0，
对应的极坐标方程为：
ρcosθ+ρsinθ-2$\sqrt{5}$=0，
∴$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{5}$，
∴ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{10}$．
（3）∵l：x+y-2$\sqrt{5}$=0，
∴其斜率为k=-1，
设点P（x，y）为椭圆上任意一点，则
点P到直线的距离为d=$\frac{|x+y-2\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|2cosθ+sinθ-2\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|\sqrt{5}cos（θ-α）-2\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$，
∴dmax=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，dmin=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵直线MN与直线l的夹角等于45°，
∴|MN|max=$\frac{3\sqrt{10}}{2}×\sqrt{2}=3\sqrt{5}$，
|MN|min=$\frac{\sqrt{10}}{2}×\sqrt{2}=\sqrt{5}$，
点评 本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、曲线的直角坐标方程和极坐标方程的互化，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．
互动课堂系列答案
过圆心
，交圆
于
，直线
交圆
于
（不与
重合），直线
与圆
相切于
，交
于
，且与
垂直，垂足为
，连接
．
；
．| A． | （-6，6） | B． | [-6，6] | C． | （-∞，-6]∪[6，+∞） | D． | （-∞，-6）∪（6，+∞） |