Question

已知函数．
（I）求f（x）的极值；
（II）若?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[1，2]使成立，求a的取值范围；
（III）已知．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值；
（II）分离参数可得，再分类讨论，求出右边的最小值，即可求得a的取值范围；
（III）只需要证明x₁+x₂＞x₁x₂，即可证得
解答：（Ⅰ）解：∵，
∴f′（x）=，
令f′（x）=0，即k-lnx=0，∴x=e^k，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜e^k；令f′（x）＜0，可得x＞e^k；
∴函数在（0，e^k）上单调增，在（e^k，+∞）上单调减
∴函数f（x）在x=e^k处取得极大值为f（e^k）=e^-k．
（II）解：∵
∴
若，即x₁∈（1，+∞）时，在[1，2]上为单调增函数，
∴?x₂∈[1，2]使成立，等价于?x₁∈（1，+∞），使得，∴a＞1；
若，即x₁∈（0，1]时，，在时，取得最小值为
∴?x₂∈[1，2]使成立，等价于?x₁∈（0，1]，使得，∴a＞0；
综上知，a＞0
（III）证明：∵x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，
∴（x₁+x₂）（）=2+≥2+2=4＞0，
两式相乘，化简得x₁+x₂＞x₁x₂，
∴
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查存在性问题，考查不等式的证明，难度较大．