Question

【题目】 已知函数（a为常数）.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为和．（2）

【解析】试题分析：（1）先确定函数定义域，再求导函数，进而求定义区间上导函数的零点，最后列表分析导函数符号并确定单调区间：增区间为，，减区间为和．（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题： ，再利用导数研究函数单调性，确定当时有最大值为，即得实数的取值范围.

试题解析：解：（Ⅰ）函数的定义域为，

当时， ，

，

由得， ，

由得， 或，

∴函数的单调增区间为，

单调减区间为和．

（Ⅱ）当时， 恒成立，

令，

问题转换为时， ．

，

①当时， ，

在上单调递增，

此时无最大值，故不合题意．

②当时，令解得， ，

此时在上单调递增，

此时无最大值，故不合题意．

③当时，令解得， ，

当时， ，

而在上单调递增，在上单调递减，

，

令， ，

则，

在上单调递增，

又，

当时， ，

在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，

故不合题意．

当时， ，

而此时在上单调递减，

，符合题意．

综上可知，实数的取值范围是．

（也可用洛必达法则）