题目内容
设0＜x＜
，则函数f(x)=
的最小值为
| π |
| 2 |
| 1+cos2x+6sin2x |
| sin2x |
2
| 3 |
2
．| 3 |
分析：法一：先利用二倍角公式将函数f（x）化简，有两个方向，一是通过升次缩角，将函数中的角统一为单角x，通过对二次齐次式分子分母同除以cos2x的办法，转化为关于x的正切函数的值域问题，利用均值定理求最值，
法二：是通过降次扩角，将函数中的角统一为倍角2x，利用数形结合求函数的最值
法二：是通过降次扩角，将函数中的角统一为倍角2x，利用数形结合求函数的最值
解答：解：解法一：∵f(x)=
=
=
∵0＜x＜
，∴cosx＞0，tanx＞0，
∴将f（x）的分子分母同除以cos2x
∴f（x）=
=
+3tanx≥2
=2
（当且仅当tanx=
，即x=
时取等号）
∴函数f(x)=
的最小值为 2
故答案为2
解法二：∵f(x)=
=
=
∴设x=sin2x，y=cos2x，
∵0＜x＜
，∴0＜x≤1，-1＜y＜1，
且x2+y2=1
∴点P（x，y）在以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆上，如图
此时
表示点P与点（0，2）连线的斜率
数形结合可得：OP=r=1，OM=2，∠MAO=60°
∴
≤-
∴
=
≥2
∴函数f(x)=
的最小值为 2
故答案为2
| 1+cos2x+6sin2x |
| sin2x |
| 2cos2x+6 sin2x |
| sin2x |
| 2cos2x+6sin2x |
| 2sinx•cosx |
∵0＜x＜
| π |
| 2 |
∴将f（x）的分子分母同除以cos2x
∴f（x）=
| 2+6tan2x |
| 2tanx |
| 1 |
| tanx |
|
| 3 |
（当且仅当tanx=
| ||
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f(x)=
| 1+cos2x+6sin2x |
| sin2x |
| 3 |
故答案为2
| 3 |
解法二：∵f(x)=
| 1+cos2x+6sin2x |
| sin2x |
1+cos2x+6×
| ||
| sin2x |
| -2(cos2x -2) |
| sin2x |
∴设x=sin2x，y=cos2x，
∵0＜x＜
| π |
| 2 |
且x2+y2=1
∴点P（x，y）在以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆上，如图
此时
| y-2 |
| x |
数形结合可得：OP=r=1，OM=2，∠MAO=60°
∴
| y-2 |
| x |
| 3 |
∴
| -2(cos2x -2) |
| sin2x |
| -2(y-2) |
| x |
| 3 |
∴函数f(x)=
| 1+cos2x+6sin2x |
| sin2x |
| 3 |
故答案为2
| 3 |
点评：本题考察了三角函数求最值的方法，二倍角公式的应用，均值定理求最值和数形结合求最值的运用，转化化归的思想方法
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若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则函数g（x）=f（x）-x的零点的个数为（ ）
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| A、3个 | B、2个 | C、1个 | D、0个 |