题目内容
5．已知点H（0，-2），椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F是椭圆E的右焦点，直线HF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点A为椭圆E的右顶点，过B（1，0）作直线l与椭圆E相交于S，T两点，直线AS，AT与直线x=3分别交于不同的两点M，N，求|MN|的取值范围．
分析 （I）利用直线HF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求出c，利用离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，可得b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）分类讨论，直线与椭圆方程联立，由S，A，M三点共线，可求|MN|的取值范围．
解答 解：（I）由题意，F（c，0），
∵直线HF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴$\frac{2}{c}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴c=$\sqrt{3}$，
∵离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2，b=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，S（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），T（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
由S，A，M三点共线，得M（3，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
同理N（3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|MN|=$\sqrt{3}$；
当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x-1），S（x1，y1），T（x2，y2），M（3，yM），N（3，yN）
由S，A，M三点共线，得yM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，yN=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
y=k（x-1）代入椭圆方程可得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．
则x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴|x1-x2|=$\frac{4\sqrt{1+3{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=|yM-yN|=$\frac{\sqrt{1+3{k}^{2}}}{|k|}$=$\sqrt{3+\frac{1}{{k}^{2}}}$＞$\sqrt{3}$，
综上，|MN|≥$\sqrt{3}$．
点评 本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查韦达定理的运用，属中档题．
| A． | h（x1）＜0，h（x2）＜0 | B． | h（x1）＞0，h（x2）＞0 | C． | h（x1）＞0，h（x2）＜0 | D． | h（x1）＜0，h（x2）＞0 |
| A． | [2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z） | B． | [$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]（k∈Z） | ||
| C． | [kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z） | D． | [$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$]（k∈Z） |
如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．