Question

已知双曲线C的焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），一条渐近线方程为，过F₁的直线l交双曲线于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若A，B分别在左右两支，求直线l斜率的取值范围；
（3）若直线l斜率为1，求△ABF₂的周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）设双曲线方程，利用双曲线C的焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），一条渐近线方程为，求出几何量，即可得到双曲线方程；
（2）设直线方程，代入双曲线方程，利用韦达定理及根的判别式，即可求直线l斜率的取值范围；
（3）直线l交左支于A，B两点，利用双曲线的定义，即可求△ABF₂的周长．
解答：解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则
∴a²=3，b²=1
∴双曲线方程为；
（2）设直线方程为y=k（x+2），代入双曲线方程，可得（3k²-1）x²+12k²x+12k²+3=0
∵A，B分别在左右两支，
∴，∴，∴
（3）由题意，直线l交左支于A，B两点，则
∴，即△ABF₂的周长8
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．