Question

设f（x）是定义在R⁺上的函数，并且对任意的正实数x、y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
求证：（1）f（1）=0；
（2）；
（3）若x，y∈R⁺，则．

Answer 1

解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中令x=y=1得：
f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0．
（2）在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=得：
f（1）=f（x）+f（）
∵f（1）=0，
∴；
（3）由f（xy）=f（x）+f（y）得：
f（）+f（y）=f（×y），即f（）+f（y）=f（x）
∴．
分析：（1）采用赋值法解决．在f（xy）=f（x）+f（y）中令x=y=1即可得；
（2）在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=可得；
（3）直接利用f（xy）=f（x）+f（y）进行变形即可得．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．