Question

已知函数f（x）=x²+ax-（a+2）lnx-2
（1）当a=1时，求证：当x≥1时，f（x）≥0．
（2）若a＜-2，探求f（x）的单调区间．
（3）求证：+++…+＞-（++）（n≥4，n∈N^*）

Answer 1

（1）证明：∵a=1，x≥1时，，
∴f（x）在[1，+∞）为增函数，
∴f（x）≥f（1）=0；
（2）解：
∴a∈（-4，-2）时，函数的单调增区间为，单调减区间为；
a=-4，函数的单调增区间为（0+∞）；
a＜-4时，函数的单调增区间为（0，1），，单调减区间为；
（3）证明：由（1）得：当x＞1时，x²+x-2＜3lnx，
∴
∴
∴，，，…，
∴+++…+＞（1++）-（++）=（-（++）
分析：（1）求导函数，确定f（x）在[1，+∞）为增函数，即可证得结论；
（2）求导函数，分类讨论，可得函数的单调区间；
（2）先证明，再x分别取2，3，…，n，叠加即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．