Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（2，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，4），$\overrightarrow{c}$=（-1，-2）．
（1）求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$任意两个向量夹角的余弦值；
（2）求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$，（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量夹角余弦的坐标公式即可求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$任意两个向量夹角的余弦值；
（2）根据向量坐标的加法和减法运算可求出向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可．

解答 解：（1）$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{8}{\sqrt{13}•2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{65}}{65}$，$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{-8}{\sqrt{13}•\sqrt{5}}=-\frac{8\sqrt{65}}{65}$，$cos＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-6}{2\sqrt{5}•\sqrt{5}}=-\frac{3}{5}$；
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2×（-2）+3×4=8$，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=（4，-1）•（0，7）=-7$，$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）=（2，3）•（-3，2）=0$，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=（0，7）^{2}=49$．

点评 考查向量夹角余弦的坐标公式，向量数量积的坐标运算，根据向量的坐标求向量的长度，以及向量坐标的加法和减法运算．