Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（2）存在△AOB面积的最大值．由直线l过点E（-1，0），设直线l的方程为 x=my-1，由，得（m²+4）y²-2my-3=0．由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解得，由此能求出S_△AOB的最大值．
解答：（共13分）
解：（1）由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）
故曲线C的方程为． …（5分）
（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）
因为直线l过点E（-1，0），设直线l的方程为 x=my-1或y=0（舍）．
则
整理得 （m²+4）y²-2my-3=0．…（7分）
由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解得，．
则 ．
因为
=． …（10分）
设，，．
则g（t）在区间上为增函数．
所以．
所以，
当且仅当m=0时取等号，即．
所以S_△AOB的最大值为．…（13分）
点评：本题考查曲线的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．