Question

20．直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$相交于A、B两点，且线段AB的中点为M（1，1），则直线l的方程为x+3y-4=0．

Answer 1

分析 通过直线l过点M（1，1）可设其方程为x=m（y-1）+1，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式计算即得结论．

解答 解：依题意，设直线l方程为：x=m（y-1）+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=m（y-1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：
（3+m²）y²-2m（m-1）y+m²-2m-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{2m（m-1）}{3+{m}^{2}}$，
∵且线段AB的中点为M（1，1），
∴$\frac{2m（m-1）}{3+{m}^{2}}$=2，即m=-3，
∴直线l方程为x=-3（y-1）+1，即x+3y-4=0，
故答案为：x+3y-4=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．