Question

在直角坐标系xOy中，长为

2

+1的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，

CP

=

2

PD

．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，

OM

=

OA

+

OB

，当点M在曲线E上时，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设C、D、P的坐标，利用

CP

=

2

PD

，确定坐标之间的关系，由|CD|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，从而可得曲线E的方程；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OM

=

OA

+

OB

知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，利用韦达定理及点M在曲线E上，求得k²=2，再利用向量的数量积公式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由

CP

=

2

PD

，得（x-m，y）=

2

（-x，n-y），
∴x-m=-

2

x，y=

2

（n-y），
由|CD|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，
∴（

2

+1）²x²+

( 2 +1)2

2

y2=（

2

+1）²，
整理，得曲线E的方程为x²+

y2

2

=1
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OM

=

OA

+

OB

知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
由点M在曲线E上，知（x₁+x₂）²+

(y1+y2)2

2

=1，
即（-

2k

k2+2

）²+

8

(k2+2)2

=1
解得k²=2．
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（-

2k

k2+2

）+1=-

3

4

∴

OA

•

OB

=-

3

4

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，正确运用向量，确定坐标之间的关系是关键．