Question

已知过椭圆右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点；又函数f（x）=asinx+3bcosx图象的一条对称轴方程是，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e与直线ON的斜率；
（Ⅱ）对于任意一点M∈C，总有等式成立，求证：λ²+μ²为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据函数图象的一条对称轴方程是，得，取得，，整理得a与b的关系式，从而得出椭圆C的离心率；又椭圆C的方程可化为x²+3y²=3b²将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得P直线ON的斜率；
（II）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量坐标运算得到：x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，又M∈C，得：λ（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²结合（I）中方程根与系数的关系最后化简得：λ²+μ²为定值．
解答：解：（I）因为函数图象的一条对称轴方程是，
所以对任意的实数x都有，
取得，，整理得，于是椭圆C的离心率，（3分）
由知，椭圆C的方程可化为x²+3y²=3b²，①
又椭圆C的右焦点F为，直线AB的方程为，②
②代入①展开整理得：，③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x，y），
则x₁，x₂是方程③的两个不等的实数根，由韦达定理得，

∴x=，，于是直线ON的斜率．
此问用点差法也可（8分）
（II）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量坐标运算知（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，（10分）
又M∈C，代入①式得：（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²，
展开整理得：λ（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²，④（10分）
（12分）
又A、B两点在椭圆上，故有x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²
代入④式化简得：λ²+μ²=1（14分）
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、三角函数的图象与性质、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．