Question

已知焦点在x轴上，离心率为

2 5

5

的椭圆的一个顶点是抛物线x²=4y的焦点，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析：（1）因为椭圆的离心率为

2 5

5

，所以

c

a

=

2 5

5

，又因为椭圆的一个顶点是抛物线x²=4y的焦点，且椭圆的焦点在x轴上，所以b=1，再根据a，b，c的关系，就能求出a的值，椭圆的方程可得．
（2）可先设出A、B、M的坐标，代入

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，就可找到几个点坐标的关系式，再根据A，B再椭圆上，满足椭圆方程，消去参数，就可求出λ₁+λ₂的值．

解答：解：（1）依题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
因为抛物线x²=4y的焦点为（0，1），所以b=1．
由e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2 5

5

，得a=

5

．
故椭圆方程为

x2

5

+y2=1．
（2）依题意设分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（0，y₀），
由（1）得椭圆的右焦点F（2，0），

所以 MA =(x1，y1-y0)， AF =(2-x1，y1) MB =(x2，y2-y0)， BF =(2-x2，-y2).

由

MA

=λ1

AF

，得

x1= 2λ1 1+λ1 y1= y0 1+λ1 .

由

MB

=λ1

BF

，得

x2= 2λ2 1+λ2 y2= y0 1+λ2 .

因为A、B在椭圆上，所以

1 5 ( 2λ2 1+λ1 )2+( y0 1+λ1 )2-1 1 5 ( 2λ2 1+λ2 )2+( y0 1+λ2 )2=1

即

λ 2 2 +10λ1+(5-5 y 2 0 )=0 λ 2 2 +10λ2+(5-5 y 2 0 )=0.

所以λ₁，λ₂是方程λ²+10λ+（5-5y₀²）=0的两根，
故λ₁+λ₂=-10是定值．

点评：本题考查了直线与椭圆 的位置关系，做题时要认真分析，找到突破口．