Question

【题目】已知函数（其中）.

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再讨论二次方程根的个数与大小，确定导函数符号，进而确定函数单调性（2）先将不等式转化为函数最值问题： ，再结合（1）讨论函数最小值取法，最后根据不等式解集得的取值范围.

试题解析：（1）的定义域为

（i）若，则.由得或；由得

在上单调递增，在上单调递减；

（ii）若，则在上单调递增；

（iii）若，则，由得或；由得

在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知，（i）若，

当时，即时， 在上单调递增，在上单调递减.

，故对不恒成立；

当时，即时， 在上单调递增，

（ii）若在上单调递增，则，故；

综上所述， 的取值范围为.