题目内容
已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．（1）求直线ON的斜率kON；
（2）对于椭圆C上的任意一点M，设
（λ∈R，μ∈R），求证：λ2+μ2=1．
【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率，化简椭圆的方程，设出AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，中点坐标公式及斜率公式，即可求斜率；
（2）确定坐标之间的关系，利用M，A，B在椭圆上，结合韦达定理，即可证明结论．
解答：（1）解：设椭圆的焦距为2c，
因为
，所以有
，故有a2=3b2．
从而椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2 ①
∴右焦点F的坐标为（
，0），
据题意有AB所在的直线方程为：y=x-
．②
由①，②有：
．③
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x，y），由③及韦达定理有：
，
所以
，即为所求．…（6分）
（2）证明：显然
与
可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量
，有且只有一对实数λ，μ，使得等式
成立．
设M（x，y），由（1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
故x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．…（8分）
又因为点M在椭圆C上，所以有
整理可得：
+
+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．④
由③有：
，
．
所以x1x2+3y1y2=3b2-9b2+6b2=0 ⑤
又点A，B在椭圆C上，故有
=
=3b2．⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ2+μ2=1．…（13分）
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
（2）确定坐标之间的关系，利用M，A，B在椭圆上，结合韦达定理，即可证明结论．
解答：（1）解：设椭圆的焦距为2c，
因为
，所以有
，故有a2=3b2．从而椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2 ①
∴右焦点F的坐标为（
，0），据题意有AB所在的直线方程为：y=x-
．②由①，②有：
．③设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x，y），由③及韦达定理有：
，
所以
，即为所求．…（6分）（2）证明：显然
与
可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量
，有且只有一对实数λ，μ，使得等式
成立．设M（x，y），由（1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
故x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．…（8分）
又因为点M在椭圆C上，所以有
整理可得：
+
+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．④由③有：
，
．所以x1x2+3y1y2=3b2-9b2+6b2=0 ⑤
又点A，B在椭圆C上，故有
=
=3b2．⑥将⑤，⑥代入④可得：λ2+μ2=1．…（13分）
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率为
．
（O为坐标原点），求△AOB的面积；
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．
，求点Q的轨迹方程．
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，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.
时，求k的值.
+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(
，0)求实数k的取值范围。
（a>b>0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若
。则
（ ） 
（D）