Question

已知命题p：“?x∈[1，2]，x²-a＞0”与命题q：“?x∈R，x²+2ax+2-a=0”都是真命题，则实数a的取值范围是

（-∞，-2]

．

Answer 1

分析：p为真命题时，根据二次函数在闭区间上的最值求法，得到a＜1．q是真命题时，方程x²+2ax+2-a=0有实数根，由一元二次方程根的判别式，得到a≤-2或a≥1．结合题意，p和q都是真命题，取交集即可得到本题的答案．

解答：解：若命题p是真命题，则f（x）=x²-a在[1，2]上的最小值也大于0，
故f（1）=1-a＞0，解之得a＜1．
若命题q是真命题，则方程x²+2ax+2-a=0根的判别式大于或等于0
即：4a²-4（2-a）≥0，解之得a≤-2或a≥1．
∵命题p和命题q都是真命题，
∴a≤-2，即a的取值范围是（-∞，-2]
故答案为：（-∞，-2]

点评：本题命题真假的判断为载体，着重考查了一元二次方程根的判别式和二次函数在闭区间上的最值求法，属于基础题．