Question

已知，函数.

   （1）求的极值；

   （2）若在上为单调递增函数，求的取值范围；

   （3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1） 无极大值（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）由题意，，，

∴当时，；当时，，

所以，在上是减函数，在上是增函数，

故 无极大值.                                                    …4分

（2），，

由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，

即在上恒成立，故，所以的取值范围是．…………………9分

（3）构造函数，

当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得．

当时，，

因为，所以，，

所以在上恒成立，

故在上单调递增，，

所以要在上存在一个，使得，必须且只需，

解得，故的取值范围是．                                       …14分

另法:（Ⅲ）当时，．

当时，由，得 ，

令，则，

所以在上递减，．

综上，要在上存在一个，使得，必须且只需．

考点：本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数判断函数的单调性，解决有关方程的综合问题.

点评：纵观历年高考试题，利用导数讨论函数单调区间是函数考查的主要形式，是高考热点，是解答题中的必考题目，在复习中必须加强研究，进行专题训练，熟练掌握利用导数判断函数单调区间的方法，总结函数单调性应用的题型、解法，并通过加大训练强度提高解题能力.