Question

已知数列{a_n}的首项a₁=5且S_n-1=an（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₁，a₃，a₄的值，并猜想a_n（n≥2，n∈N^*）的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 an+1=

2an

an+1

，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想 an=

2n

2n-1

，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（1）由题意：S_n-1=a_n（n≥2，n∈N^*），
得 a₂=S₁=a₁=5；a₃=S₂=a₁+a₂=10；a₄=S₃=a₁+a₂+a₃=20；
猜想：a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N）；
证明：（2）①当n=2时，由（1）知，命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即 a_k=5×2^k-2，
则当n=k+1时，a _k+1=S_k=a₁+a₂+…+a_k=5+

5(1-2 k-1)

1-2

=5-5•2^k-1=5•2^k-1，
故命题也成立．                     
综上，对一切n≥2，n∈N都有a_n=5×2^n-2成立．

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．