Question

已知周期为4的函数f（x）=

2 1-x2 1-|x-2|

(-1＜x≤1)   (1＜x≤3)

．
（1）试确定方程f（x）-

x

3

=0的实数解的个数
（2）求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）本题即求函数y=f（x）的图象与直线y=

x

3

的交点的个数，在同一个坐标系中，画出函数y=f（x）与直线y=

x

3

的图象，数形结合可得结论．
（2）当x∈（4k-1，4k+1]，k∈z，则x-4k∈（-1，1]，由此可得此时f（x）的解析式．当x∈（4k+1，4k+3]，k∈z，则x-4k∈（1，3]，由此可得f（x）的解析式，综合可得结论．

解答：解：（1）方程f（x）-

x

3

=0的实数解的个数，
即函数y=f（x）的图象与直线y=

x

3

的交点的个数，
在同一个坐标系中，画出函数y=f（x）与直线y=

x

3

的图象，
数形结合可得，函数y=f（x）与直线y=

x

3

的交点的个数为3．
（2）当x∈（4k-1，4k+1]，k∈z，则x-4k∈（-1，1]，
f（x）=f（x-4k）=2

1-(x-4k)2

．
当x∈（4k+1，4k+3]，k∈z，则x-4k∈（1，3]，
f（x）=f（x-4k）=1-|x-4k-2|，
∴f（x）=

2 1-(x-4k)2  ，x∈(4k-1 ，4k+1] ，k∈z 1-|x-4k-2| ，x∈(4k+1 ，4k+3] ，k∈z

．

点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，体现了数形结合、等价转化的数学思想，属于中档题．