Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=AA₁=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B-C₁D-C的正切值；
（3）设AB₁的中点为G，问：在矩形BCC₁B₁内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC₁．若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证AB₁∥平面BC₁D，只需证明AB₁平行平面BC₁D中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形AB₁C，使AB₁成为这个三角形中的边，而中位线MD恰好在平面BC₁D上，就可得到结论．
（2）先过C作CE⊥C₁D且设CE∩C₁D=E，可得∠CEB为二面角C-BC₁-D的平面角．再把∠CEB放到三角形CEB中求出正切值即可；
（3）建立空间直角坐标系，求出各点坐标以及各向量的坐标，根据GH⊥平面BC₁D，可算得点H的位置．
解答：解：（1）连接B₁C，设B₁C∩BC₁=M，连接MD，
在△AB₁C中，M为B₁C中点，D为 AC中点，
∴DM∥AB₁，
又∵AB₁不在面BDC₁内，DM在面BDC₁内，
∴AB₁∥面BDC₁．…（3分）
（2）过C作CE⊥C₁D且设CE∩C₁D=E，连接BE，
∵BC⊥面ACC₁A₁，C₁D在平面ACC₁A₁内，
∴BC⊥C₁D．又CE⊥C₁D，
∴C₁D⊥面BEC，∴C₁D⊥BE，
∴∠CEB为二面角B-C₁D-C的平面角，设为θ．…（5分）
在RT△BEC中，BC=2，由CE×C₁D=C₁C×DC可得CE=，
∴tanθ==，即二面角B-C₁D-C的正切值为．…（7分）
（3）以C₁为坐标原点，为X轴，为Y轴，为Z轴建立空间直角坐标系．
依题意，得：C₁（0，0，0），D（1，2，0），B（0，2，2，），G（1，1，1，），假设存在H（0，m，n）
=（-1，m-1，n-1），=（1，2，0），=（-1，0，2）
由GH⊥平面BC₁D，得：
⊥⇒（-1，m-1，n-1）•（1，2，0）=0
∴m=
同理，由得：n=
即：在矩形BCC₁B₁内是存在点H，使得GH⊥平面BDC₁．
此时点H到B₁C₁的距离为，到C₁C的距离为．…（13分）
点评：本题考察了线面平行判定定理的应用和二面角的作法和求法，解决二面角问题是要按照一作二证三计算的步骤，准确规范解题．