Question

在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(

5

，0)，

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若

OP

=

ae

1+

be2

（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是

 

．

Answer 1

分析：根据

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)是渐近线方向向量，进而可知双曲线渐近线方程根据c=

5

，进而求得a和b，求得双曲线方程，进而根据

OP

=

ae

1+

be2

化简整理可得答案．

解答：解：因为

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)是渐近线方向向量，
所以双曲线渐近线方程为y=±

1

2

x，
又c=

5

，∴a=2，b=1
双曲线方程为

x2

4

-y2=1，

OP

=

ae

1+

be2

=（2a+2b，a-b），
∴

(2a+2b)2

4

-(a-b)2=1，化简得4ab=1．
故答案为4ab=1．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．