Question

【题目】如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为的等边三角形，，点O，M分别是AB，BC的中点.

（1）证明：AC//平面POM；

（2）求点B到平面POM的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）证明直线平行平面POM内的直线，再利用线面平行判定定理证明；

（2）作BN⊥OM，垂足为N，先证明BN⊥平面POM，得到线段BN的长即为点B到平面POM的距离，再从△BOM中求得BN的长.

（1）∵点O，M分别是AB，BC的中点，∴OM//AC.

又∵OM平面POM，AC平面POM，

∴AC//平面POM.

（2）如图所示，作BN⊥OM，垂足为N，

∵，O是AB的中点，∴.

∵平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥BN.

又，∴BN⊥平面POM.

∴线段BN的长即为点B到平面POM的距离.

由△ABC是等边三角形，可得△BOM也是等边三角形.

∵，∴，.

故点B到平面POM的距离为.