Question

已知关于x的方程x²-（6+i）x+9+ai=0 （a∈R）有实数根b.

（1）求实数a，b的值；

（2）若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.

Answer 1

（1）a=b=3（2）当z=1-i时，|z|有最小值且|z|_min=.

解析:

（1）∵b是方程x²-（6+i）x+9+ai=0 （a∈R）的实根，

∴（b²-6b+9）+（a-b）i=0，

故解得a=b=3.

（2）设z=x+yi （x，y∈R），

由|-3-3i|=2|z|，

得（x-3）²+（y+3）²=4（x²+y²），

即（x+1）²+（y-1）²=8.

∴Z点的轨迹是以O₁（-1，1）为圆心，2为半径的圆.

如图，当Z点在OO₁的连线上时，|z|有最大值或最小值.

∵|OO₁|=，半径r=2，

∴当z=1-i时，|z|有最小值且|z|_min=.