Question

2．已知点F是拋物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，若点M（x₀，1）在C上，且|MF|=$\frac{{5{x_0}}}{4}$．
（1）求p的值；
（2）若直线l经过点Q（3，-1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．

Answer 1

分析 （1）抛物线定义知|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$，则x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{{5{x_0}}}{4}$，求得x₀=2p，代入抛物线方程，x₀=1，p=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y²=2x，当直线l经过点Q（3，-1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率k_AM=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，直线BM的斜率k_BM=$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$，k_AM•k_BM=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$×$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x-3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得k_AM•k_BM=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{+y}_{2}+1}$=$\frac{1}{-3-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}+1}$=-$\frac{1}{2}$，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数-$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由抛物线定义知|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$，则x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{{5{x_0}}}{4}$，解得x₀=2p，
又点M（x₀，1）在C上，代入y²=2px，整理得2px₀=1，解得x₀=1，p=$\frac{1}{2}$，
∴p的值$\frac{1}{2}$；
（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y²=x，
当直线l经过点Q（3，-1）且垂直于x轴时，此时A（3，$\sqrt{3}$），B（3，-$\sqrt{3}$），
则直线AM的斜率k_AM=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，直线BM的斜率k_BM=$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$，
∴k_AM•k_BM=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$×$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$．
当直线l不垂直于x轴时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线AM的斜率k_AM=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{y}_{1}-1}{{y}_{1}^{2}-1}$=$\frac{1}{{y}_{1}+1}$，同理直线BM的斜率k_BM=$\frac{1}{{y}_{2}+1}$，
k_AM•k_BM=$\frac{1}{{y}_{1}+1}$•$\frac{1}{{y}_{2}+1}$=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{+y}_{2}+1}$，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，-1），则直线l的方程为y+1=k（x-3），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x-3）}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，消x得，ky²-y-3k-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{1}{k}$，y₁•y₂=-$\frac{3k+1}{k}$=-3-$\frac{1}{k}$，
故k_AM•k_BM=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{+y}_{2}+1}$=$\frac{1}{-3-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}+1}$=-$\frac{1}{2}$，
综上，直线AM与直线BM的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．