Question

14．设函数 f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R
（1）当m=1时，求f（x）的极值；
（2）若对任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求 m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求函数极值；（2）$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立．等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．等价于h（x）=f（x）-x）在（0，+∞）上单调递减．

解答 解：（1）由题设，当m=1时，f（x）=ln x+$\frac{1}{x}$（x＞0），
则$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，令f′（x）=0，则x=1
∴当x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，f（x）取得极小值f（1）=ln 1+1=1，
∴f（x）的极小值为1．
（2）对任意的b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立．
等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．（*）
设h（x）=f（x）-x=ln x+$\frac{m}{x}$-x（x＞0），
∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减，
由h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{x2}$-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
得m≥（-x²+x ）（x＞0）恒成立，等价于m≥（-x²+x ）max（x＞0），
∵当x=$\frac{1}{2}$时，y=-x²+x （x＞0）有最大值为$\frac{1}{4}$
∴m≥$\frac{1}{4}$
∴m的取值范围为：[$\frac{1}{4}，+∞）$

点评 本题考查了利用导数求函数极值，同时考查了转化思想，把不等式恒成立问题转化为函数的单调性问题，属于难题．