Question

已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点Q（x，）满足．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且满足，又点H关于原点O的对称点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定向量AQ，BQ的坐标，利用，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论．
解答：解：（1）依据题意，有，
∵，
∴x²-1+2y²=1．
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是．
（2）因直线l过点B，且斜率为k=-，故有l：y=-．
联立方程组，得2x²-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=．
又，点G与点H关于原点对称，
于是，可得点H（-1，-）、G（1，）．
若线段MN、GH的中垂线分别为l₁和l₂，则有l₁：y-=（x-），l₂：．
联立方程组，解得l₁和l₂的交点为O₁（，-）．
因此，可算得|O₁H|==，|O₁M|==．
所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O₁（，-），半径为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，确定圆心坐标与半径是关键．