题目内容

已知定义在（0，+∞）上的两个函数 $数学公式$ 处取得极值．
（1）求a的值及函数g（x）的单调区间；
（2）求证：当 $数学公式$ 成立．
（3）把g（x）对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C₁，求C₁与f（x）对应曲线C₂的交点个数，并说明理由．

解：（1）∵f′（x）=2x- $\text{[math]}$ ，∴f'（1）=2-a=0，∴a=2．…（2分）
∴ $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，得x＞1；
由 $\text{[math]}$ ，得0＜x＜1．
∴g（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．…（4分）
（2）∵1＜x＜e²，
∴0＜lnx＜2，
∴2-lnx＞0．
欲证 $\text{[math]}$ ，只需证明2x-xlnx＜2+lnx，
即只需证 $\text{[math]}$ ．
记 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ．
当x＞1时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（1，+∞）上是增函数．
∴F（x）＞F（1）=0，
∴F（x）＞0，即 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．故结论成立． …（8分）
（3）由题意知 $\text{[math]}$ ．
问题转化为 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上解的个数．…（10分）
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由G'（x）＞0，得x＞1；由G'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴G（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减．
又G（1）=-4＜0，所以 $\text{[math]}$
在（0，+∞）上有2个解．
即C₁与f（x）对应曲线C₂的交点个数是2．…（14分）
分析：（1）先根据f'（1）=0求出a的值，然后求出g′（x），最后解g′（x）＞0与g′（x）＜0，即可求出函数g（x）的单调区间；
（2）先判定2-lnx的符号，欲证 $\text{[math]}$ ，只需证明2x-xlnx＜2+lnx，即只需证 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，然后利用导数研究函数的单调性求出函数F（x）的最小值即可证得结论；
（3）由题意知 $\text{[math]}$ ，问题转化为 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上解的个数，然后利用导数研究函数的单调性，从而可判定解的个数．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性和图象交点问题，同时考查了转化的思想，属于中档题．