Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）若存在实数k和t，满足

x

=（t-2）

a

+（t²-t-5）

b

，

y

=-k

a

+4

b

，且

x

⊥

y

，求出k关于t的关系式k=f（t）；
（2）根据（1）的结论，试求出函数k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，化简，即可求出k关于t的关系式；
（2）利用基本不等式，可求函数k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴

a

•

b

=0，且|

a

|=2，|

b

|=1
∵

x

⊥

y

∴

x

•

y

=-（t+2）×4k+4（t²-t-5）=0
∴k=f（t）=

t2-t-5

t+2

（t≠-2）；
（2）k=f（t）=

t2-t-5

t+2

=t+2+

1

t+2

-5
∵t∈（-2，2），
∴t+2＞0，∴k=t+2+

1

t+2

-5≥-3，当且仅当t+2=

1

t+2

，即t=-1时取等号，
∴k的最小值为-3．

点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．