Question

设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d₁和d₂，∠APB＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂sin²θ＝λ．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

(2)过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使·＝0，其中点O为坐标原点．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)在中，，即， ，即(常数)， 点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线． 方程为：． 　　(2)设， ①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上． 即，因为，所以． ②当不垂直于轴时，设的方程为． 由得：， 由题意知：， 所以，． 于是：． 因为，且在双曲线右支上，所以 ． 由①②知，． 　　解法二：(1)同解法一 　　(2)设，，的中点为． ①当时，， 因为，所以； ②当时，． 又．所以； 由得，由第二定义得 ． 所以． 于是由得 因为，所以，又， 解得：．由①②知．