Question

21.

设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d₁和d₂，∠APB＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂ sin²θ＝λ.

（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使·＝0，其中点O为坐标原点.

Answer 1

解法一：（1）在△PAB中，,则，

4=(d₁-d₂)²+4d₁d₂sin²,即(常数)，

点P的轨迹C是以A、B为焦点，实轴长的双曲线，方程为：.

(2)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1,M(1,1),N(1,-1)在双曲线上，

即，因为,所以.

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1).

由得，

由题意知：，所以，，

于是，

因为,且M,N在双曲线右支上 所以

，

由①②知。

解法二：（1）同解法一

（2）设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),MN的中点为E(x₀,y₀).

①当x₁=x₂=1时，,因为所以;

②当时，.

又.所以;

由得,由第二定义得

=，

所以.

于是由得

因为x₀＞1,所以，又

解得：.由①②知.