Question

已知直线y=x-2与抛物线y²=2x相交于点A、B,求证:OA⊥OB.

Answer 1

思路分析：可以把直线方程代入抛物线的方程解出两点的坐标，利用直线斜率知识来求证.也可以不求出交点的坐标利用韦达定理表示出OA、OB所在直线的斜率.

证法一:将y=x-2代入y²=2x中,得(x-2)²=2x.化简得x²-6x+4=0.

∴x=3±.

∴x=时,y=;x=时,y=.

∴k_OA·k_OB==-1.∴OA⊥OB.

证法二:同证法一,得方程x²-6x+4=0.

∴x₁+x₂=6,x₁·x₂=4.

∴y₁·y₂=(x₁-2)(x₂-2)=x₁·x₂-2(x₁+x₂)+4=-4.

∴k_OA·k_OB==-1.∴OA⊥OB.