Question

【题目】对于定义在上的函数，若函数满足：①在区间上单调递减；②存在常数，使其值域为，则称函数为的“渐近函数”.

（1）设，若在上有解，求实数取值范围；

（2）证明：函数是函数，的渐近函数，并求此时实数的值；

（3）若函数，，，证明：当时，不是的渐近函数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）见解析

【解析】

（1）利用参变分离，得到，再利用基本不等式得到的取值范围；（2）令，求出的单调性和值域，得到结论；（3）令，求导得到，利用导数研究的单调性和零点，从而得到的正负，判断出的单调性，得到结论.

（1）由，即，

因为

所以

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

所以.

（2）令

所以在上单调递减，

所以

当时，，

所以值域为

所以是的渐近函数，且.

（3）令，

则

设

则

，

所以在上单调递增，

即在上单调递增，

又时，，故的值域为，

因为，所以，，

所以存在，使得，

所以时，单调递减，时，单调递增，

所以在上不是单调递减，

故当时，不是的渐近函数.