Question

已知向量（λ≠0），，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若α-β=且λ=1，求向量与的夹角；
（Ⅱ）若不等式||≥2||对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）λ=1时，利用向量模的坐标公式求出向量、的长度，从而得到•=cosθ，然后利用向量数理积的坐标公式，得到•=sin（β-α）=，最后解关于夹角θ的方程，可得向量与的夹角；
（Ⅱ）代入（1）的运算结果，将不等式||≥2||整理为：λ²-2λsin（β-α）+1≥4对任意实数α、β都成立，再结合正弦函数的有界性，建立关于λ的不等式组，解之可得满足条件的实数λ的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）当λ=1时，
=（cosα，sinα），=（-sinβ，cosβ）
∴||=1，||=1
设向量 与的夹角为θ，得•=||||cosθ=cosθ
又∵•=cosα（-sinβ）+（sinα）cosβ=sin（α-β）=sin=
∴cosθ=
∵θ∈[0，π]
∴θ=
（Ⅱ）||²=|-|²=||²-2•+||²=λ²-2λsin（α-β）+1
不等式||≥2||可化为：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0对任意实数α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴
解得：λ≤-3或λ≥3
∴实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）
点评：本题综合了平面向量的数量积、和与差的三角函数以及不等式恒成立等知识点，属于难题．解题时应该注意等价转化和函数方程思想的运用．