Question

设f（x）在x_o处可导．且f（x_o）=0 则

lim

n→+∞

nf(xo-

1

n

)（　　）

A．等于f′（x_o）

B．等于-f′（x_o）

C．等于0

D．不存在

Answer 1

分析：根据f（x_o）=0可将

lim

n→+∞

nf(xo-

1

n

)等价变形为-

lim

n→∞

f(x0- 1 n )-f(x0)

- 1 n

再结合f（x）在x_o处可导即可求解．

解答：解∵f（x_o）=0
∴

lim

n→+∞

nf(xo-

1

n

)=-

lim

n→∞

f(x0- 1 n )-f(x0)

- 1 n

∵f（x）在x_o处可导
∴

lim

n→+∞

nf(xo-

1

n

)=-

lim

n→∞

f(x0- 1 n )-f(x0)

- 1 n

=-

lim

△x→0

f(x0+△x)-f(x0)

△x

=-f^′（x₀）
故选B

点评：本题主要考查极限及其运算．解题的关键是要将题中所述极限转化为为-

lim

n→∞

f(x0- 1 n )-f(x0)

- 1 n

再根据n→∞时-

1

n

→0再转化为-

lim

△x→0

f(x0+△x)-f(x0)

△x

然后再结合f（x）在x_o处可导才可求解．此题充分活用了极限和可导的定义，技巧性较强，属中等难度的试题．