题目内容

已知x=1是 $数学公式$ 的一个极值点
（I）求b的值；
（II）求函数f（x）的单调减区间；
（III）设g（x）=f（x）- $数学公式$ ，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

解：（Ⅰ）∵x=1是 $\text{[math]}$ 的一个极值点，
f′（x）=2- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，经检验，适合题意，
∴b=3．
（II）由f′（x）=2- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜0，
得 $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ，
又∵x＞0（定义域），
∴函数的单调减区间为（0，1]．
（III）g（x）=f（x）- $\text{[math]}$ =2x+lnx，
设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x₀，y₀），
∴ $\text{[math]}$ ，
即2x₀+lnx₀-5=（2+ $\text{[math]}$ ）（x₀-2），
∴lnx₀+ $\text{[math]}$ -5=（2+ $\text{[math]}$ ）（x₀-2），
∴lnx₀+ $\text{[math]}$ -2=0，
令h（x）=lnx+ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，∴x=2．
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∵h（ $\text{[math]}$ ）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）= $\text{[math]}$ ＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．
分析：（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是 $\text{[math]}$ 的一个极值点，得f′（1）=0，由此能求出b．
（II）由f′（x）=2- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜0，得 $\text{[math]}$ ，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间．
（III）g（x）=f（x）- $\text{[math]}$ =2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x₀，y₀），故2x₀+lnx₀-5=（2+ $\text{[math]}$ ）（x₀-2），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．
点评：本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．