Question

已知F为抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点，若过焦点F的直线l交C₁于A，B两点，使抛物线C₁在点A，B处的两条切线的交点M恰好在圆C₂：x²+y²=8上．
（I）当p=2时，求点M的坐标；
（II）求△MAB面积的最小值及取得最小值时的抛物线C₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过求导即可得到切线的斜率，联立切线的方程即可求得交点M的坐标，联立直线l的方程与抛物线的方程，利用根与系数的关系进一步化简得到点M的坐标，再代入圆的方程即可得出；
（Ⅱ）相交、相切的解法同上，再利用弦长公式、点到直线的距离公式即可得到三角形的面积表达式，利用导数即可求出其最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵p=2，∴抛物线C₁的方程为x²=4y，∴焦点F（0，1）．
设直线l的方程为y=kx+1，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
对x²=4y求导得y′=

x

2

，∴切线MA，MB的方程分别为y=

x1

2

x-

x12

4

，y=

x2

2

x-

x22

4

．
联立

y= x1 2 x- x12 4 y= x2 2 x- x22 4

，解得

x= x1+x2 2 y= x1x2 4

，即点M(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
联立

y=kx+1 x2=4y

，消去y得到x²-4kx-4=0，显然△＞0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，∴点M（2k，-1）．
把点M的坐标代入圆C₂的方程得4k²+1=8，解得k=±

7

2

，
∴点M(±

7

，-1)．
（Ⅱ）是直线l的方程为y=kx+

p

2

，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
对x²=2py求导得y′=

x

p

，
∴切线MA，MB的方程分别为y=

x1

p

x-

x12

2p

，y=

x2

p

x-

x22

2p

，联立解得交点M(

x1+x2

2

，

x1x2

2p

)．．
由

y=kx+ p 2 x2=2py

得x²-2pkx-p²=0，得到x₁+x₂=2pk，x1x2=-p2．
∴点M(pk，-

p

2

)，代入圆C₂的方程得p2k2+

p2

4

=8，（*）
又弦长|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)(4p2k2+4p2)

=2p（1+k²）．
点M到直线l的距离d=

|pk2-(- p 2 )+ p 2 |

k2+1

=p

k2+1

．
∴S_△MAB=

1

2

×2p(1+k2)×p

k2+1

=p2(1+k2)

k2+1

．
由（*）得p2=

32

4k2+1

，代入上式整理得S△MAB=

32(1+k2) 3 2

4k2+1

．
令1+k²=t≥1，则S△MAB=

32t 3 2

4t-3

，则S′(t)=

16 t (4t-9)

(4t-3)2

，
∵在区间[1，

9

4

)上，S^′（t）＜0，∴S（t）单调递减；
∵在区间(

9

4

，+∞)上，S^′（t）＞0，∴S（t）单调递增．
∴当t=

9

4

，即k2=

5

4

，p2=

16

3

时，（S_△MAB）_min=18．
此时抛物线的方程为x2=

8 3

3

y．

点评：熟练掌握直线与圆锥曲线的相交、相切问题的解题模式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、利用导数求斜率及研究函数的单调性、极值、最值等是解题的关键．