Question

如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.

(1)当棱锥A′－PBCD的体积最大时，求PA的长；

(2)若点P为AB的中点，E为A′C的中点，

求证：A′B⊥DE.

Answer 1

解：(1)令PA＝x(0＜x＜2)，则A′P＝PD＝x，BP＝2－x，因为A′P⊥PD且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD.所以V_A′－PBCD＝Sh＝(2－x)(2＋x)x

＝(4x－x³)，

令f(x)＝(4x－x³)，

由f′(x)＝(4－3x²)＝0，

得x＝.

当x∈(0，)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

当x∈(，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以，当x＝时，f(x)取得最大值．

即：当V_A′－PBCD取得最大时，PA＝.

(2)设F为A′B的中点，连接PF、FE，

则有EF綊BC，PD綊BC，

所以DE∥PF，又A′P＝PB，

所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.