Question

如图四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PC与平面ABCD成45°角，E、F分别为PA、PB的中点．
（1）求异面直线DE与AF所成角的大小；
（2）设M是PC上的动点，试问当M在何处时，才能使AM⊥平面PBD，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）取PF的中点G，连接EG，则EG∥AF，连接DG，则∠GED即为所求的角（或补角），在△DEG中由余弦定理可求
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设M（x，y，z），由题意可得

PC

=(2，-2，-2

2

)，

PD

=(0，-2， -2

2

)，设

PM

=λ

PC

=（2λ，-2λ，-2

2

λ）=（x，y，z-2

2

）可求M，由AM⊥平面PBD可得AM⊥PD即

AM

•

PD

=0，代入可求λ，即确定M在PC的位置

解答：解：（1）取PF的中点G，连接EG，则EG∥AF，连接DG，则∠GED即为所求的角（或补角）
∵PA⊥面ABCD
∴∠PCA即为直线PC与平面ABCD成的角则∠PCA=45°
∵AB=2
∴PA=AC=

2

AB=2

2

，PC=4，PB=2

3

在Rt△PAB中，由F为PB的中点可知，AF=

1

2

PB=

3

，∴EG=

1

2

AF=

3

2

，
在Rt△PAD中，由E为PA的中点可知，DE=

AD2+AE2

=

6

在△PDB中，由余弦定理可得，

PD2+PB2-BD2

2PB•PD

=

PD2+PG2-DG2

2PD•PG

即

12+12-8

2×2 3 ×2 3

=

12+ 3 4 -DG2

2×2 3 × 3 2

∴DG=

35

2

△EDG中，由余弦定理可得，COS∠DEG=

DE2+EG2-DG2

2DE•EG

=

6+ 3 4 - 35 4

2 6 × 3 2

=-

2

3

∴异面直线DE与AF所成角为arccos

2

3

（2）当M为PC的三分点，即

PM

=

2

3

PC

时，满足AM⊥平面PBD
证明如下：建立如图所示的空间直角坐标系，设M（x，y，z）
则可得D（0，-2，0），P（0，0，，2

2

），B（2，0，0），A（0，0，0），C（2，-2，0）
∴

PC

=(2，-2，-2

2

)，

PD

=(0，-2， -2

2

)
设

PM

=λ

PC

=（2λ，-2λ，-2

2

λ）=（x，y，z-2

2

）
∴M(2λ，-2λ，2

2

-2

2

λ)，即

AM

=(2λ，-2λ，2

2

-2

2

λ)，
∵AM⊥平面PBD
∴AM⊥PD即

AM

•

PD

=4λ-2

2

(2

2

-2

2

λ)=0
∴12λ-8-0
∴λ=

2

3

即

PM

=

2

3

PC

点评：在立体几何中线面，线线的平行与垂直关系是经常考查的问题，以及线面角，线线角在高考中占分比较重．