Question

（2012•枣庄一模）设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，对任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项．
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（2）写出数列{a_n}的通项公式（不要求计算过程），求数列{a_n}中的最大项．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项，可得2a_n+2=a_n+1+a_n，整理可得a_n+2-a_n=-

1

2

（a_n+1-a_n），利用b_n=a_n+1-a_n，可得数列{b_n}是首项为1，公比为-

1

2

的等比数列，从而可求通项公式；
（2）利用叠加法可求数列{a_n}的通项公式，由（1），b_n=a_n+1-a_n=(-

1

2

)n-1，可得当n为偶数时，a_n+1＜a_n；当n为奇数时，a_n+1＞a_n，于是可得数列{a_n}中的最大项必在数列的偶数项中产生，确定数列{a_2n}为单调递减数列，即可求得数列{a_n}中的最大项．

解答：（1）证明：∵a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项
∴2a_n+2=a_n+1+a_n，
∴a_n+2-a_n=-

1

2

（a_n+1-a_n）
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=-

1

2

b_n，
∵b₁=a₂-a₁，a₁=1，a₂=2，
∴b₁=1，∴数列{b_n}是首项为1，公比为-

1

2

的等比数列，
∴b_n=(-

1

2

)n-1；
（2）解：∵a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+b₁+…+b_n-1=1+

1-(- 1 2 )n-1

1+ 1 2

=

5

3

-

2

3

×(-

1

2

)n-1
由（1），b_n=a_n+1-a_n=(-

1

2

)n-1
∴当n为偶数时，a_n+1-a_n＜0，∴a_n+1＜a_n；当n为奇数时，a_n+1-a_n＞0，∴a_n+1＞a_n，
于是可得数列{a_n}中的最大项必在数列的偶数项中产生
∵a_2n+2-a_2n=

1

2

×(-

1

2

)2n-1＜0
∴a_2n+2＜a_2n，
∴数列{a_2n}为单调递减数列
∴数列{a_n}中的最大项为a2=

5

3

-

2

3

×(-

1

2

)2-1=2．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查数列的单调性，正确确定数列的通项是关键．