Question

2．已知函数f（x）=e^x-k（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）任意实数a，b，c，其中a＞0，证明：存在M，当x≥M，e^ax≥bx+c成立．

Answer 1

分析 （1）根据已知中的解析式，求导，并k值进行分类讨论，可得不同情况下f（x）的单调区间；
（2）构造函数g（x）=e^ax-bx-c，则g′（x）=ae^ax-b，分类讨论函数的单调性，最后综合讨论结果，可得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=e^x-k（x+1）．
∴f′（x）=e^x-k，
当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，
f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；
当k＞0时，若f′（x）＜0，则x＜lnk，若f′（x）＞0，则x＞lnk，
此时f（x）的单调递减区间为（-∞，lnk），单调递增区间为（lnk，+∞）；
综上所述，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；
当k＞0时，f（x）的单调递减区间为（-∞，lnk），单调递增区间为（lnk，+∞）；
证明：（2）设函数g（x）=e^ax-bx-c，
则g′（x）=ae^ax-b，
∵a＞0，
∴①当b≤0时，g′（x）＞0恒成立，
函数g（x）为增函数，
故一定存在M，使当x≥M，g（x）＞0，即e^ax≥bx+c成立；
②当b＞0时，令g′（x）＞0则x＞$\frac{1}{a}ln\frac{b}{a}$，
故在区间（$\frac{1}{a}ln\frac{b}{a}$，+∞）上函数g（x）为增函数，
故一定存在M，使当x≥M，g（x）＞0，即e^ax≥bx+c成立；
综上所述存在M，当x≥M，e^ax≥bx+c成立．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，存在性问题，难度中档．