Question

四面体P－ABC中，已知PA＝3，PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°.求证：

(1)PA⊥BC；

(2)平面PBC⊥平面ABC.

Answer 1

[解析]　(1)由PB＝PC＝2，PA＝3，

∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，

得BC＝2，AC＝，AB＝，

取CB中点F，连结AF、PF，

在等边三角形BPC中，PF⊥BC.

在等腰三角形BAC中，AF⊥BC，

∴BC⊥平面PAF，则BC⊥PA.

(2)在等边三角形BPC中，高PF＝，BC＝2，

在等腰三角形BAC中，AF＝＝，

又PA＝3，而()²＋()²＝3²，

即PF²＋AF²＝PA²，∴PF⊥AF，

又PF⊥BC，∴PF⊥平面ABC，故平面PBC⊥平面ABC.