Question

数列{a_n}满足a₁=1，且对任意的正整数m，n都有a_m+n=a_m+a_n+mn，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2012

+

1

a2013

=

2013

1007

．

Answer 1

分析：先令n=1找递推关系并求通项公式，再利用通项的特征求和，即可得到结论．

解答：解：令n=1，得a_n+1=a₁+a_n+n=1+a_n+n，∴a_n+1-a_n=n+1
用叠加法：a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

所以

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2012

+

1

a2013

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

)=2×

2013

2014

=

2013

1007

故答案为：

2013

1007

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，属于中档题．