Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°
（Ⅰ）证明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A₁C=

6

，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA₁，可通过证明AB⊥平面OA₁C得要证的结论；
（Ⅱ）在三角形OCA₁中，由勾股定理得到OA₁⊥OC，再根据OA₁⊥AB，得到OA₁为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
取AB的中点O，连结OC，OA₁，A₁B．
因为CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=AA₁，∠BAA1=60°，故△AA₁B为等边三角形，
所以OA₁⊥AB．
因为OC∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C．
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；
（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA₁B都是边长为2的等边三角形，
所以OC=OA1=

3

．
又A1C=

6

，则A1C2=OC2+OA12，故OA₁⊥OC．
因为OC∩AB=O，所以OA₁⊥平面ABC，OA₁为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．
又△ABC的面积S△ABC=

3

，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=S△ABC×OA1=

3

×

3

=3．

点评：题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．