Question

若（n∈N^*），则在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是（ ）
A．16
B．72
C．86
D．100

Answer 1

【答案】分析：由于sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S₁＞0，…S₁₃＞0，而S₁₄=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．
解答：解：∵sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，
∴S₁=sin＞0，
S₂=sin+sin＞0，
…，
S₈=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，
…，
S₁₂＞0，
而S₁₃=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，
S₁₄=S₁₃+sin=0+0=0，
又S₁₅=S₁₄+sin=0+sin=S₁＞0，S₁₆=S₂＞0，…S₂₇=S₁₃=0，S₂₈=S₁₄=0，
∴S_14n-1=0，S_14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是86．
故选C．
点评：本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin的符号，找出S₁，S₂，…，S₁₀₀中，S_14n-1=0，S_14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度，属于难题．