Question

已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）直线l₁过椭圆C₁的左焦点F₁，且与x轴垂直，动直线l₂垂直于直线l₂，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（III）设C₂上的两个不同点R、S满足，求的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由离心率为，可得2a²=3b²，利用直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，可求b的值，从而可得椭圆方程；
（II）由|MP|=|NF₂|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线，以F₂为焦点的抛物线，从而可得轨迹C₂的方程；
（III）设出R，S的坐标，利用，可得纵坐标之间的关系，利用基本不等式确定S纵坐标的范围，进而可求||的取值范围．
解答：解：（I）由离心率为，得，∴2a²=3b²，
∵直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，
∴
∴b=
∴a=，
∴椭圆方程为            …（3分）
（II）由|MP|=|NF₂|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线，以F₂为焦点的抛物线．
∴轨迹C₂的方程是y²=4x                         …（6分）
（III）设R（，y₁），S（，y₂），则=（，y₁），=（，y₂），
∴=（，y₂-y₁），
∵，∴+y₁（y₂-y₁）=0，
∵y₂≠y₁，∴y₂=-（y₁+），
∵=（y₁+）²=++32≥64，当且仅当=，即y₁=±4等号成立，…（9分）
∵||=，，
∴当，即y₂=±8时，||取得最小值8，
∴||的取值范围是[8，+∞）                       …（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查抛物线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式，定型定量是关键．